Masalah Antara P dan NPC


Anjak dan grafik isomorfisme adalah masalah dalam NP yang tidak diketahui dalam P atau NP-Complete. Apa saja masalah alam lain (yang cukup berbeda) yang berbagi properti ini? Contoh buatan yang datang langsung dari bukti teorema Ladner tidak masuk hitungan.

Apakah ada di antara contoh ini yang terbukti sebagai perantara-NP, dengan asumsi hanya beberapa hipotesis "masuk akal"?


Ada pertanyaan serupa yang diajukan di sini yang mungkin berguna: cstheory.stackexchange.com/questions/52/…
Daniel Apon

1
Pertanyaan terkait di MO, dengan beberapa petunjuk khusus untuk masalah dalam NP dan co-NP tetapi tidak diketahui berada di P: mathoverflow.net/questions/31821/…
András Salamon

1
Ada beberapa kelas kompleksitas antara P dan NP-lengkap yang saat ini dianggap menarik: PPAD, masalah yang setara dengan UGC, NP co-NP, BPP, .... Jika Anda meminta daftar besar, dapatkah Anda jadikan ini wiki komunitas?
András Salamon

Terima kasih. Saya mengetahui Teorema Ladner. Saya kira saya meminta "masalah alam." Saya kira PPAD memiliki Nash Equilibria, jadi itu penting ...
Lev Reyzin

Jawaban:


Berikut adalah kumpulan dari beberapa respons masalah antara P dan NPC:


5
Ya, prosedur ini berfungsi, sebagai jawaban "resmi".
Suresh Venkat

12
Alangkah baiknya bisa menambahkan jawaban ke daftar pantauan seseorang. Ini pasti akan menjadi milikku.
András Salamon

9
Saya menghapus Planar MAX 2-SAT dari daftar, itu terbukti NP-lengkap oleh Guibas et al. di "Perkiraan poligon dan subdivisi dengan jalur tautan minimum" ( springerlink.com/content/y234m35416w043v1 )
Bob Fraser

7
Apakah ada dari contoh-contoh ini yang terbukti sebagai perantara-NP, dengan asumsi hanya beberapa hipotesis "masuk akal" (yaitu, hipotesis yang kurang sepele dari "masalah ini adalah perantara-NP")? Jika demikian, akan menarik untuk menyebutkannya dalam daftar ini.
Timothy Chow

3
@Timothy Chow: Contoh di atas dengan asumsi terbukti menengah, yaitu, dengan asumsi N E X P E X P , versi empuk dari N E X P - masalah lengkap tidak dapat dibuktikan N P -Lengkap dengan Mahaney maupun dalam P , karena itu akan bertentangan N E X P E X P . NEXPEXPNEXPEXPNEXPNPPNEXPEXP
Joshua Grochow

Masalah favorit saya di kelas ini (saya akan mengatakannya sebagai masalah fungsional, tetapi mudah untuk berubah menjadi masalah keputusan dengan cara standar): hitung jarak rotasi antara dua pohon biner (setara, jarak balik antara dua triangulasi dari poligon cembung).


1
Itu masalah yang rapi: Saya tidak menyadari itu ada di limbo.
Suresh Venkat

3
Ya saya juga tidak tahu tentang itu! Untuk semua masalah / jawaban ini, saya ingin tahu apakah mereka ada di Limbo karena kami pikir mereka benar-benar seperti itu atau jika mereka lebih seperti PRIMES ...
Lev Reyzin

Masalah ini dan statusnya yang berpotensi menengah seharusnya lebih dikenal. Bisakah Anda memberikan referensi untuk itu? Juga, apakah ada hasil yang menunjukkan bahwa itu bukan NP-lengkap, karena ada untuk Grafik Isomorfisme dan masalah terkait?
Joshua Grochow

8
Referensi yang sangat cantik dan penting tetapi lebih tua adalah Thurston, Sleator, dan Tarjan, "Jarak rotasi, triangulasi, dan geometri hiperbolik", STOC'86 dan JAMS'88. Untuk referensi terbaru yang secara eksplisit menyebutkan kompleksitas masalah masih terbuka, lihat Lucas, "Ukuran kernel yang ditingkatkan untuk jarak rotasi dalam pohon biner", IPL 2010, dx.doi.org/10.1016/j.ipl.2010.04. 022
David Eppstein

1
Menarik. Menjelajahi ruang rotasi juga merupakan area penelitian aktif. "Grafik rotasi pohon k-ary adalah Hamiltonian", IPL 2008, dx.doi.org/10.1016/j.ipl.2008.09.013
Chad Brewbaker

Masalah yang tidak disebutkan dalam daftar ini atau daftar MO adalah masalah turnpike. Diberikan multiset dari n (n-1) / 2 angka, setiap angka mewakili jarak antara dua titik pada garis, merekonstruksi posisi titik-titik asli.

Perhatikan bahwa apa yang membuat nontrivial ini adalah bahwa untuk angka tertentu d dalam multiset, Anda tidak tahu pasangan poin mana yang terpisah d unit.

Meskipun diketahui bahwa untuk setiap contoh yang diberikan hanya ada sejumlah solusi polinomial, tidak diketahui bagaimana cara menemukannya!


Terima kasih - ini bagus! Mengingatkan saya pada beberapa masalah "pelokalan" lainnya. Apakah itu sebenarnya dianggap tidak ada di p?
Lev Reyzin

Saya tidak menyadari bahwa turnpike secara langsung terkait dengan masalah yang diketahui dalam kompleksitas. Namun, ada hubungan "arah yang salah" dengan anjak piutang, dalam hal ini masalah turnpike cam diungkapkan sebagai masalah anjak piutang pada polinomial yang dipilih dengan tepat.
Suresh Venkat

1
Adakah konsekuensi yang tidak mungkin diketahui dari masalah ini karena NP-lengkap, seperti ada untuk Grafik Isomorfisme (PH runtuh)?
Joshua Grochow

tidak saya sadari. itu belum banyak dipelajari, yang sangat disayangkan, karena itu sangat alami.
Suresh Venkat

2
Anda menemukan masalah yang sama dalam bioinformatika: Diberikan satu set yang berpotensi / mudah-mudahan tumpang tindih, substring yang dibuat secara acak dari string jauh lebih lama daripada potongan individual; hitung string aslinya. (pengurutan gen)
Raphael

Jumlah yang persegi masalah akar: Mengingat dua urutan dan b 1 , b 2 , ... , b n bilangan bulat positif, adalah A : = Σ i a1,a2,,anb1,b2,,bn kurang dari, sama dengan, atau lebih besar dariB:=βiA:=iai ?B:=ibi

  • Masalahnya memiliki algoritma -waktu yang sepele pada RAM yang sebenarnya — Hitung saja jumlahnya dan bandingkan! —Tapi ini tidak menyiratkan keanggotaan dalam P.O(n)

  • Ada algoritma presisi terbatas yang jelas, tetapi tidak diketahui apakah jumlah polinomial bit presisi cukup untuk kebenaran. (Lihat http://maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P33.html untuk detailnya.)

  • Teorema Pythogoras menyiratkan bahwa panjang dari setiap kurva poligon yang simpul dan titik akhir bilangannya adalah jumlah akar kuadrat dari bilangan bulat. Dengan demikian, jumlah-of-akar masalah adalah melekat di beberapa masalah geometri komputasi planar, termasuk Euclidean minimum spanning pohon , Euclidean jalur terpendek , triangulations minimum-berat , dan TSP Euclidean . (Masalah Euclidean MST dapat diselesaikan dalam waktu polinomial tanpa menyelesaikan masalah jumlah akar, berkat struktur matroid yang mendasarinya dan fakta bahwa EMST adalah subgraf dari triangulasi Delaunay.)

  • Ada adalah polinomial-waktu algoritma acak, karena Johannes Blömer , untuk memutuskan apakah dua jumlah yang sama. Namun, jika jawabannya tidak, algoritma Blömer tidak menentukan jumlah yang lebih besar.

  • Versi keputusan dari masalah ini (Is ?) Bahkan tidak diketahui dalam NP. Namun, algoritma Blömer menyiratkan bahwa jika masalah keputusan adalah dalam NP, maka itu juga dalam co-NP. Dengan demikian, masalahnya tidak mungkin NP-lengkap.A>B


3
Bagus, saya suka !!
Hsien-Chih Chang 張顯 之

Nah, jika kita mengambil hanya 1000 bilangan bulat acak, tidak terlalu besar, maka ada sekitar cara untuk membagi mereka ke dalam dua set, jadi saya akan berharap bahwa dua dari jumlah ini berada dalam 900 atau lebih bit dalam satu sama lain (dan dalam waktu setengah dari jumlah total). Di sisi lain, menemukan dua urutan "terburuk" untuk dibandingkan dari 2 999 kemungkinan ini juga sangat, sangat sulit. 29992999
gnasher729

Berikut adalah daftar masalah yang mungkin atau mungkin tidak memenuhi syarat sebagai "cukup" berbeda. Dengan bukti yang sama seperti untuk Grafik Isomorfisme, jika ada di antaranya NP-lengkap, maka Hirarki Polinomial runtuh ke tingkat kedua. Saya tidak berpikir ada konsensus luas mengenai yang mana dari "seharusnya" ini di P.

  • Grafik Automorfisme (tentukan apakah grafik memiliki automorfisme nontrivial). Mengurangi ke Grafik Isomorfisme, tetapi tidak diketahui (tidak terpikirkan?) Sebagai GI-keras.
  • Kelompok Isomorfisme dan Automorfisme (di mana kelompok diberikan oleh tabel perkaliannya). Sekali lagi, kurangi menjadi Graph Isomorphism, tetapi tidak dianggap sebagai GI-hard.
  • Ring Isomorphism dan Automorphism. Dalam arti tertentu, ini adalah ayah dari semua masalah di atas, karena anjak bilangan bulat setara dengan menemukan automorfisme nontrivial dari sebuah cincin, dan Grafik Isomorfisme direduksi menjadi Isomorfisme Cincin. Lihat Neeraj Kayal, Nitin Saxena. Kompleksitas Masalah Cincin Morfisme. Kompleksitas Komputasi 15 (4): 342-390 (2006). (Menariknya, menentukan apakah cincin memiliki automorfisme nontrivial ada dalam )P
  • Posting ini oleh Bill Gasarch berisi beberapa masalah lain dengan selera teori Ramsey yang terlihat seperti sedang.
  • Dengan Teorema Mahaney, tidak ada set yang jarang yang bisa lengkap NP. Tapi kita juga tahu bahwa ada set jarang di - P IFF N E X P tidak sama dengan E X P . Jadi dengan asumsi N E X P NPPNEXPEXP , versi empuk dari setiap N E X P -lengkapan lengkap adalah kompleksitas menengah. (Set seperti itu tidak bisa dalam P kecuali N E X P = E X PNEXPEXPNEXPPNEXP=EXP, Bertentangan asumsi kita.) Ada banyak alami masalah -Lengkap.NEXP

Saya suka contoh terakhir. Apakah Anda punya referensi tentang itu?
Marcos Villagra

1
SR Mahaney. Set lengkap lengkap untuk NP: Solusi dugaan oleh Berman dan Hartmanis. Jurnal Ilmu Komputer dan Sistem 25: 130-143. 1982. dx.doi.org/10.1016/0022-0000(82)90002-2 Set jarang dalam NP - P iff NEXP neq EXP: J. Hartmanis, N. Immerman, V. Sewelson, Set jarang di NP-P: EXPTIME versus NEXPTIME, Informasi dan Kontrol, Volume 65, Masalah 2-3, Mei-Juni 1985, Halaman 158-181. dx.doi.org/10.1016/S0019-9958(85)80004-8
Joshua Grochow

Ini adalah daftar yang bagus, walaupun tiga yang pertama sangat mirip :) Saya suka contoh terakhir juga.
Lev Reyzin

Minimum Circuit Size Problem (MCSP) adalah masalah "alami" favorit saya di NP yang tidak dikenal sebagai NP-complete: Mengingat tabel kebenaran (ukuran n = 2 ^ m) dari fungsi m-variate Boolean f, dan diberi angka s, apakah f memiliki sirkuit ukuran s? Jika MCSP mudah, maka tidak ada fungsi satu arah yang aman secara kriptografis. Masalah ini dan variannya memberikan banyak motivasi untuk studi tentang algoritma "brute-force" di Rusia, yang mengarah ke karya Levin tentang kelengkapan NP. Masalah ini juga dapat dilihat dalam hal kompleksitas Kolmogorov yang terbatas sumber daya: menanyakan apakah string dapat dipulihkan dengan cepat dari deskripsi singkat. Versi masalah ini dipelajari oleh Ko; nama MCSP pertama kali digunakan oleh Cai dan Kabanets, sejauh yang saya tahu. Lebih banyak referensi dapat ditemukan di beberapa makalah saya: http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/KT.pdf http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/pervasive.reach.pdf


Dualitas diri monoton

Untuk fungsi boolean f=f(x1,x2,...,xn) , itu ganda adalah fd=f¯(x1¯,x2¯,...,xn¯) . Mengingat f(x1,x2,...,xn)diwakili oleh rumus CNF, kita harus memutuskan apakah f=fd .

Masalah ini ada di dalam co-NP [ log2n ], yaitu, dapat di decidable dengan O(log2n/loglogn) langkah nondeterministic. Dengan demikian, ia memiliki algoritma waktu kuasi-polinomial ( O(nlogn/loglogn)), dan karenanya tidak mungkin co-NP-hard.

Masih terbuka apakah masalah ini dalam P atau tidak. Rincian lebih lanjut dapat ditemukan di makalah 2008 " Aspek komputasi dualisasi monoton: Sebuah survei singkat " oleh Thomas Eiter, Kazuhisa Makino, dan Georg Gottlob.


Simpul sepele: Diberikan rantai poligon tertutup dalam 3-ruang, apakah tidak terpotong (yaitu ambient-isotop ke lingkaran datar)?

Ini dikenal sebagai NP oleh hasil mendalam dalam teori permukaan normal, tetapi tidak ada algoritma waktu-poli atau bukti kekerasan NP yang diketahui.


1
Mungkin perlu disebutkan bahwa, karena dengan banyak masalah NP-intermediate yang potensial, sedikit varian diketahui sebagai NP-complete. Yaitu, genus simpul 3-manifold adalah lengkap-NP: diberi rantai poligon tertutup dalam segitiga 3-manifold dan bilangan bulat g, apakah simpul paling banyak merupakan batas permukaan genus g? (Menjadi unknot sama dengan genus 0.) doi.acm.org.proxy.uchicago.edu/10.1145/509907.510016
Joshua Grochow

Ini juga terkandung dalam co-AM (Hara, Tani, Yamamoto), jadi bukan NPC kecuali hierarki polinomialnya runtuh.
Peter Shor

3
Sebenarnya, itu masih terbuka. Tasos Sidiropoulos menemukan bug dalam bukti Hara-Tani-Yamamoto.
Jeffε

Sejak saat jawaban ini pertama kali diposting, Kuperberg ditempatkan di tergantung pada Generalized Riemann Hipotesis, dan Lackenby ditempatkan itu unconditonally di c o N P . coNPcoNP
Mark S

Tidak diketahui apakah mungkin untuk memutuskan dalam waktu polinomial apakah pemain 1 memiliki strategi kemenangan dalam permainan paritas (dari posisi awal yang diberikan). Masalahnya, bagaimanapun, terkandung dalam NP dan co-NP dan bahkan dalam UP dan co-UP.


Bisakah Anda memberikan referensi? Kedengarannya menarik.
Joshua Grochow

1
M. Jurdzinski. Menentukan Pemenang di Parity Games adalah dalam UP \ cap co-Up. Pemrosesan Informasi Surat 68 (3): 119-124. 1998. Setidaknya harus menjadi titik awal yang baik.
Matthias

Makalah baru-baru ini "A Pumping Algorithm untuk Ergodic Stochastic Mean Payoff Games dengan Informasi Sempurna" juga menunjukkan bahwa bahkan generalisasi permainan paritas dapat diselesaikan dalam waktu semu-polinomial. Secara khusus, mereka menunjukkan bahwa game yang disebut game BWR memiliki algoritma waktu pseudo-polinomial ketika ada jumlah konstan "node acak". Permainan paritas adalah kasus di mana tidak ada node acak.
Danu

Baru-baru ini ditunjukkan bahwa permainan paritas dapat diselesaikan dalam waktu yang semu, lihat di sini misalnya.
Thomas Klimpel

Anda mendapatkan daftar masalah yang sangat panjang jika bersedia menerima masalah perkiraan, seperti perkiraan Max-Cut dalam faktor 0,878. Kami tidak tahu apakah itu NP-hard atau P (hanya tahu NP-hardness dengan asumsi Uniuqe Games Conjecture).


Ya, itu adalah komentar konyol yang saya mulai hapus segera setelah diposting. Terima kasih. :)
Daniel Apon

Terima kasih! Tapi saya kira saya tidak terlalu memikirkan masalah perkiraan, tetapi lebih banyak masalah alami.
Lev Reyzin

Bisa dibilang, ini adalah masalah alami karena mereka sesuai dengan apa yang dapat dicapai oleh serangkaian teknik alami, dalam hal ini, pemrograman semidefinite.
Moritz

Saya kira "alami" adalah kriteria yang samar-samar ...
Lev Reyzin

Dalam formula CNF monoton setiap klausa hanya berisi literal positif atau hanya literal negatif. Dalam rumus CNF monoton berpotongan setiap klausa positif memiliki beberapa variabel yang sama dengan setiap klausa negatif.

Masalah keputusan

INTERSECTING MONOTONE SAT
Input: berpotongan rumus CNF monoton Pertanyaan: apakah f memuaskan?f
f

memiliki algoritma sejak tahun 1996, tetapi tidak diketahui berada dalam P. (Tentu saja, itu mungkin berubah menjadi P, tetapi itu akan menjadi hasil utama.)no(log n)

  • Thomas Eiter dan Georg Gottlob, Perhitungan Transversal Hypergraph dan Masalah Terkait dalam Logika dan AI , JELIA 2002. doi: 10.1007 / 3-540-45757-7_53



Ada banyak masalah terkait dengan menemukan subkelompok tersembunyi. Anda menyebutkan anjak piutang, tetapi ada juga masalah log diskrit serta yang lain terkait dengan kurva eliptik, dll.


Berikut adalah masalah dalam pilihan sosial komputasi yang tidak diketahui berada di P, dan mungkin atau mungkin tidak lengkap NP.

Kontrol agenda untuk turnamen eliminasi tunggal seimbang:

Tn=2ka

Pertanyaan: apakah ada permutasi node ( braket ) sehingga a adalah pemenang dari turnamen eliminasi tunggal yang diinduksi?

Pk2kVTVPk12k1i>0Pk[2i1]Pk[2i]eTPk1[i]=Pk[2i1]e=(Pk[2i1],Pk[2i])Pk1[i]=Pk[2i]PkTPk12kkPk1,,P02k

Kontrol agenda untuk turnamen eliminasi tunggal seimbang (perumusan grafik):

Tn=2ka

T2ka

2kxa2k1x2k1yxyk=0

Beberapa referensi:

  1. Jérôme Lang, Maria Silvia Pini, Francesca Rossi, Kristen Brent Venable, Toby Walsh: Penentuan Pemenang dalam Pemilihan Suara Berurutan. IJCAI 2007: 1372-1377.
  2. N. Hazon, PE Dunne, S. Kraus, dan, M. Wooldridge. Bagaimana Rig Pemilihan dan Kompetisi. COMSOC 2008.
  3. Thuc Vu, Alon Altman, Yoav Shoham. Pada kompleksitas masalah kontrol jadwal untuk turnamen sistem gugur. AAMAS (1) 2009: 225-232.
  4. V. Vassilevska Williams. Memperbaiki turnamen. AAAI 2010.


Masalah isomorfisma subgraph yang diinduksi memiliki "pembatasan sisi kiri" NP-tidak lengkap dengan asumsi bahwa P tidak sama dengan NP. Lihat Y. Chen, M. Thurley, M. Weyer: Memahami Kompleksitas Isomorfisme Subgraph yang diinduksi , ICALP 2008.


2
Meskipun ini adalah hasil yang menarik, jika Anda memeriksa makalah itu bahkan mengatakan bahwa bukti kompleksitas menengah pada dasarnya sama dengan Teorema Ladner, kecuali Anda melakukan diagonalisasi dalam pilihan pembatasan LHS. Jadi saya tidak tahu apakah ini dianggap sebagai masalah "alami", bukan hanya penyandian Teorema Ladner yang berbeda.
Joshua Grochow

Perhatikan juga bahwa ini adalah batasan sumber dan target. Target (sisi kanan) harus dalam bentuk khusus, untuk menegakkan injeksi.
András Salamon



nv1vβvβ>1

β=nNPcoNPNPPββ=no(1/loglogn)NP


G=(V,E)fvVf(v)e=uvE|f(u)f(v)|f:V{0,1,2,,|E|}{1,2,...,|E|}

  1. JA Gallian. Survei dinamis pelabelan grafik. The Electronic Journal of Combinatorics, 2009.
  2. DS Johnson. Kolom NP-kelengkapan: Panduan yang sedang berlangsung. J. Algorithms, 4 (1): 87–100, 1983.
  3. DS Johnson. Kolom NP-kelengkapan. Transaksi ACM tentang Algoritma, 1 (1): 160–176, 2005.


abax+1b

γ

Garey dan Johnson dalam "Komputer dan Ketidaktertaruhan" mani mengatakan bahwa (hlm. 158-159):

γRMM

RM={x,y:there is a string z such that on input x and guess z M has output y}

L1Σ1γL2Σ2L1γL2MxΣ1yΣ2x,yRMx,yRMxL1yL2MxxxL2xL1


γ


Masalah berikut ini diyakini sebagai NP-Menengah, yaitu di NP tetapi tidak di P atau NP-lengkap.

Memecahkan Masalah Root Polinomial (EPRP)

p(x)deg(p)0GF(q)qr

p(x)=rx
p(x)rxrxr

deg(p)=0

Untuk detail tambahan, lihat pertanyaan saya dan diskusi terkait .


Saya tidak tahu apakah masalah isomorfisme hypergraph tertimbang yang diajukan dalam jawaban oleh Thinh D. Nguyen tidak bisa hanya ditunjukkan sebagai GI lengkap. Namun, ada masalah GI-hard terkait erat dengan GI, yang belum direduksi menjadi GI, yaitu masalah string isomorphism (juga disebut masalah color isomorphism ). Ini adalah masalah yang sebenarnya ditunjukkan dalam waktu kuasi-polinomial oleh László Babai. Ini adalah kepentingan independen, karena itu setara dengan sejumlah masalah keputusan dalam teori grup (permutasi):


Masalah yang tidak diketahui berada dalam FP atau NP-hard adalah masalah menemukan pohon Steiner minimal ketika simpul Steiner dijanjikan akan jatuh pada dua segmen garis lurus berpotongan pada sudut 120 °. Jika sudut antara segmen garis kurang dari 120 °, maka masalahnya adalah NP-hard. Dugaan bahwa ketika sudut lebih besar dari 120 °, maka masalahnya adalah pada FP.

Karenanya masalah keputusan berikut saat ini tampaknya memiliki kompleksitas menengah:


q
q

Tentu saja, ini mungkin benar-benar dalam P atau NP-lengkap, tetapi kemudian tampaknya kita akan memiliki dikotomi yang menarik pada 120 ° bukannya masalah menengah. (Dugaan itu mungkin juga salah.)

  • JH Rubinstein, DA Thomas, NC Wormald, Steiner Trees for Terminals Constrained to Curves , SIAM J. Discrete Math. 10 (1) 1–17, 1997. doi: 10.1137 / S0895480192241190

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.