Apakah Norbert Blum 2017 bukti bahwa


Jawaban:


Seperti disebutkan di sini sebelumnya, contoh Tardos dengan jelas membantah buktinya; itu memberikan fungsi monoton, yang setuju dengan CLIQUE pada T0 dan T1, tetapi yang terletak pada P. Ini tidak akan mungkin jika buktinya benar, karena buktinya berlaku untuk kasus ini juga. Namun, bisakah kita menunjukkan kesalahannya? Inilah, dari sebuah posting di blog lipton, apa yang tampaknya menjadi tempat buktinya gagal:

Kesalahan tunggal adalah satu titik halus dalam bukti Teorema 6, yaitu pada Langkah 1, di halaman 31 (dan juga 33, di mana kasus ganda dibahas) - klaim yang tampaknya jelas bahwa Cg berisi semua klausa yang sesuai yang terkandung dalam dll, tampaknya salah.CNF(g)

Untuk menjelaskan hal ini secara lebih rinci, kita perlu masuk ke metode pembuktian dan pendekatan Berg dan Ulfberg, yang menyatakan kembali bukti asli Razborov tentang kompleksitas monoton eksponensial untuk CLIQUE dalam hal sakelar DNF / CNF. Ini adalah bagaimana saya melihatnya:

Untuk setiap node / gerbang dari rangkaian logika β (hanya berisi biner ATAU / DAN gerbang), bentuk normal konjungtif C N F ( g ) , bentuk normal disjungtif D N F ( g ) , dan aproksimasi C k g dan D r g terpasang. C N F dan D N F hanyalah bentuk-bentuk normal keluaran disjungtif dan konjungtif yang sesuai. D r g dan C k ggβCNF(g)DNF(g)CgkDgrCNFDNFDgrCgkjuga merupakan bentuk disjungtif dan konjungtif, tetapi dari beberapa fungsi lain, "mendekati" output gerbang. Namun mereka wajib memiliki jumlah dibatasi variabel dalam setiap monomial untuk (kurang dari r konstan) dan di setiap klausul untukDgr (kurang dari k konstan).Cgk

Ada gagasan tentang "kesalahan" yang diperkenalkan dengan perkiraan ini. Bagaimana kesalahan ini dihitung? Kami hanya tertarik pada beberapa set T0 input yang total fungsinya mengambil nilai 0, dan T1 input yang total fungsinya mengambil nilai 1 ("janji"). Sekarang di setiap gerbang, kita hanya melihat input dari T0 dan T1, yang dihitung dengan benar (oleh dan C N F ( g ) , yang mewakili fungsi yang sama - keluaran gerbang g dalam β ) di pintu gerbang output, dan melihat berapa banyak kesalahan / kesalahan adalah untuk C k g danDNF(g)CNF(g)gβCgkDgr, dibandingkan dengan itu. Jika gerbang adalah konjungsi, maka keluaran gerbang mungkin menghitung lebih banyak input dari T0 dengan benar (tetapi input yang dihitung dengan benar dari T1 kemungkinan menurun). Untuk , yang didefinisikan sebagai konjungsi sederhana, tidak ada kesalahan baru namun pada semua masukan tersebut. Sekarang, D r g didefinisikan sebagai saklar CNF / DNF dari C k g , jadi mungkin ada sejumlah kesalahan baru pada T0, datang dari switch ini. Pada T1 juga, tidak ada kesalahan baru pada C k g - setiap kesalahan harus hadir di kedua input gerbang, dan juga di D r gCgkDgrCgkCgkDgr, sakelar tidak memperkenalkan kesalahan baru pada T1. Analisis untuk gerbang OR adalah ganda.

Jadi jumlah kesalahan untuk aproksimasi akhir dibatasi oleh jumlah gerbang dalam , dikalikan jumlah kesalahan maksimal yang dimungkinkan oleh sakelar CNF / DNF (untuk T0), atau oleh sakelar DNF / CNF (untuk T1). Tetapi jumlah total kesalahan harus "besar" dalam setidaknya satu kasus (T0 atau T1), karena ini adalah properti dari bentuk normal konjungtif positif dengan klausa yang dibatasi oleh k , yang merupakan wawasan kunci dari bukti asli Razborov (Lemma). 5 di koran Blum).βk

Jadi apa yang Blum lakukan untuk mengatasi negasi (yang didorong ke level input, sehingga sirkuit masih hanya berisi gerbang biner OR / AND)?β

Idenya adalah untuk membentuk CNF / DNF dan DNF / CNF switch secara terbatas, hanya ketika semua variabel positif. Kemudian switch akan bekerja PERSIS seperti dalam kasus Berg dan Ulfberg, memperkenalkan jumlah kesalahan yang sama. Ternyata ini adalah satu-satunya kasus yang perlu dipertimbangkan.

Jadi, ia mengikuti garis Berg dan Ulfberg, dengan beberapa perbedaan. Alih-alih melampirkan , D N F ( g ) , C k g dan D r g ke setiap gerbang g dari sirkuit β , ia melampirkan modifikasinya, C N F ( g ) , D N F ( g ) , C ' k g dan DCNF(g)DNF(g)CgkDgrgβCNF(g)DNF(g)Cgk , yaitu bentuk normal "mengurangi" disjungtif dan penghubung, yang didefinisikan berbeda dariCNF(g)danDNF(g)oleh "aturan penyerapan", menghapus variabel menegasikan dari semua monomials campuran / klausul ( ia juga menggunakan untuk operasi tujuan ini yang dilambangkan oleh R, menghilangkan beberapa monomial / klausa sepenuhnya; seperti yang telah kita bahas sebelumnya, definisi R yang agak informal bukan masalah, R dapat dibuat tepat sehingga diterapkan di setiap gerbang tetapi apa dihapus tidak hanya tergantung pada dua input sebelumnya tetapi pada seluruh rangkaian yang mengarah ke gerbang itu), dan aproksimatornyaC rDgrCNF(g)DNF(g) danD' r g , bahwa ia juga memperkenalkan.CgrDgr

Dia menyimpulkan, dalam Teorema 5, bahwa untuk fungsi monoton, mengurangi dan D N F akan benar-benar menghitung 1 dan 0 pada set T1 dan T0, pada simpul akar g 0 (yang outputnya adalah output dari seluruh fungsi dalam β ). Teorema ini, saya percaya, benar.CNFDNFg0β

Sekarang tiba penghitungan kesalahan. Saya percaya kesalahan pada setiap node dimaksudkan untuk dihitung dengan membandingkan pengurangan dan D N F ( g ) (yang sekarang mungkin dua fungsi berbeda), dengan C r g dan D k g saat ia mendefinisikan mereka. Definisi aproksimator definisi parrot dari C N F dan D N F CNF(g)DNF(g)CgrDgkCNFDNF(Langkah 1) ketika mencampur variabel dengan variabel yang dinegasikan, tetapi ketika dia berurusan dengan variabel positif, dia menggunakan saklar seperti dalam kasus Berg dan Ulfberg (Langkah 2). Dan memang, pada Langkah 2 ia akan memperkenalkan jumlah kesalahan yang mungkin sama seperti sebelumnya (itu adalah saklar yang sama, dan semua variabel yang terlibat positif).

Tapi buktinya salah pada Langkah 1. Saya pikir Blum membingungkan , γ 2 , yang benar-benar datang, seperti yang didefinisikannya, dari aproksimasi sebelumnya (untuk gerbang h 1 , h 2 ), dengan bagian positif C N F β ( h 1 ) dan C N F β ( h 2 ) . Ada perbedaan, dan karenanya, pernyataan " C g berisi masih semua klausa yang terkandung dalam C N F γ1γ2h1h2CNFβ(h1)CNFβ(h2)Cg sebelum perkiraan gerbang g yang menggunakan klausa dalam γ 1 atau γ 2 "tampaknya salah secara umum.CNFβ(g)γ1γ2


2
sepertinya komentar yang sama di blog RJL rjlipton.wordpress.com/2017/08/17/… apakah Anda menulis itu? ingin menambahkan ide: bagaimana jika kuncinya adalah untuk mempertimbangkan T0 / T1 dari semua sama 1-bit wrt cnf-dnf konversi / pendekatan? diketahui oleh Berkowitz 1982 ini cukup untuk memisahkan P vs NP lihat "kompleksitas fungsi slice" / wegener sciencedirect.com/science/article/pii/0304397585902099
vzn

6
@vzn Penulis komentar ini di blog adalah "vloodin." Penulis jawaban ini adalah "idolvon." Permutasi huruf memberikan petunjuk bahwa penulisnya tidak terlalu berbeda.
Clement C.

2
Hanya ingin tahu, apakah ada semacam komunikasi publik lebih lanjut dari Blum setelah mengunggah kertas ke arxiv?
Matt

9
@Matt Blum menarik kembali kertas itu dan memposting komentar berikut pada halaman kertas arXiv: "Buktinya salah. Saya akan menguraikan dengan tepat apa kesalahannya. Untuk melakukan ini, saya perlu waktu. Saya akan memberikan penjelasan pada saya homepage "
Gustav Nordh

Jawaban ini telah dikonfirmasikan sebagai benar oleh Scott Aaronson, mengutip pengulas lain (tanpa nama): scottaaronson.com/blog/?p=3409
cuniculus

Saya akrab dengan Alexander Razborov yang pekerjaan sebelumnya sangat penting dan berfungsi sebagai dasar untuk bukti Blum. Saya beruntung dapat bertemu dengannya hari ini dan tidak membuang waktu untuk meminta pendapatnya tentang semua masalah ini, apakah dia bahkan telah melihat buktinya atau tidak dan apa pendapatnya tentang hal itu jika dia melakukannya.

Yang mengejutkan saya, dia menjawab bahwa dia memang menyadari kertas Blum tetapi tidak mau membacanya pada awalnya. Tetapi karena semakin banyak kemasyhuran diberikan kepadanya, ia mendapatkan kesempatan untuk membacanya dan mendeteksi cacat dengan segera: yaitu bahwa alasan yang diberikan oleh Berg dan Ulfberg sangat cocok untuk fungsi Tardos, dan karena memang demikian, bukti Blum tentu diperlukan. salah karena bertentangan dengan inti Teorema 6 dalam makalahnya.


2
Alangkah baiknya jika Anda bisa menguraikan hal ini. Apakah fungsi Tardos dikenal sebagai P?
Thomas

5
Fungsi Tardos adalah dalam P, dan merupakan perkiraan dari fungsi Lovasz theta, yang, untuk komplemen grafik, adalah antara bilangan klik dan bilangan kromatik. Fungsi nyata Lovasz theta adalah fungsi monoton dari sebuah grafik. Namun, pertanyaannya adalah apakah perkiraan ini menimbulkan fungsi monoton pada grafik juga (hanya fungsi monoton yang akan membatalkan buktinya). Bisakah seseorang memberi kami referensi ke kertas Tardos di mana ini didefinisikan, tolong?
idolvon

7
@idolvon Maksud Anda: cs.cornell.edu/~eva/... Ini secara eksplisit menyatakan bahwa fungsi φ adalah fungsi monoton yang dapat dihitung dengan waktu poli
PsySp

12
Terima kasih! Itu pada dasarnya mengatasinya - bukti Bloom pasti salah. Sekarang, mungkin menarik untuk menunjukkan kesalahan. Saya akan memeriksanya dan mengirim komentar di lipton's, seperti di masa lalu yang baik, menurut prof. keinginan Woodpecker.
idolvon

1
@idolvon Ya, saya juga berpikir begitu. Argumen Blum harus membawa fungsi φ sebagaimana didefinisikan dalam makalah yang menyatakan bahwa monoton dan polytime dapat dihitung (sepele menurut definisinya).
PsySp

Ini diposting sebagai jawaban komunitas karena (a) itu bukan kata-kata saya sendiri, tetapi kutipan dari Luca Trevisan di platform media sosial atau dari orang lain tanpa akun CSTheory.SE; dan (b) siapa pun harus merasa bebas untuk memperbarui ini dengan informasi terbaru yang relevan.


Mengutip Luca Trevisan dari pos publik Facebook (14/08/2017), menjawab pertanyaan tentang makalah ini yang ditanyakan oleh Shachar Lovett :

Fungsi Andreev, yang diklaim memiliki kompleksitas sirkuit superpolinomial (abstrak, kemudian bagian 7), hanyalah interpolasi polinomial univariat di bidang terbatas, yang, jika saya tidak melewatkan sesuatu, dapat dipecahkan dengan eliminasi Gaussian

Sebenarnya, ini belum tentu titik di mana buktinya gagal; Luca kemudian menjawab yang berikut (15/08/2017), setelah pertanyaan terkait dengan komentar Andrew di bawah:

Anda benar, teman-teman, saya salah mengerti definisi fungsi Andreev: tidak jelas bahwa itu mengurangi interpolasi polinomial


Karl Wimmer mengomentari poin yang diajukan oleh Gustav Nordh (direproduksi dengan izin Karl):

Untuk menambah ini, saya tidak melihat mengapa, dari dua paragraf pertama dari bukti Teorema 5, kita dapat menyimpulkan bahwa menghitung f . Saya hanya melihat semacam satu sisi-ness yang D N F ' ( g 0 ) menghitung fungsi sehingga f = 1DNF(g0)fDNF(g0)f=1 berarti bahwa fungsi ini juga 1.

Paragraf ketiga tidak membantu saya: pasti dan sakelar DNF / CNF-nya menghitung fungsi yang sama, tetapi tidak segera mengikuti bahwa sakelar DNF / CNF menghitung f (karena D N F ( g 0 ) mungkin tidak), jadi kami tidak dapat membuat kesimpulan tentang f- klausa.DNF(g0)fDNF(g0)f

(Selain: keberpihakan satu sisi ini konsisten dengan contoh Gustav di atas.)

Dari sudut pandang yang berbeda, tentunya jaringan standar yang menghitung fungsi monoton dapat menghitung fungsi non-monoton pada simpul internal. Teorema 5 tidak berlaku untuk fungsi non-monoton, sehingga tidak mungkin benar menghitung sub-fungsi dalam jaringan yang simpul output g (yang akan terjadi bagi banyak fungsi non-monoton). Karena itu, saya tidak yakin bahwa pembangunan induktif ini D N F ' ( g 0 ) tentu akan benar pada akhirnya.DNF(g)gDNF(g0)

Jika saya benar-benar tak berdaya di sini, tolong beri tahu saya!


Dari pengguna anonim, sebagai reaksi terhadap poin Karl:

DNF 'dan CNF' hanyalah DNF dan CNF untuk f, di mana pembatalan literal yang berlawanan dilakukan, sehingga mengurangi mereka menjadi bentuk yang lebih pendek. Ini juga dijelaskan dalam makalah, dan itu agak rumit dari definisi tetapi itu adalah apa itu. Teorema 5 bukan masalah, daging ada di Teorema 6.


Dan jawaban oleh Karl (yang saya reproduksi lagi di sini):

Saya mengerti apa yang dikatakan anon (terima kasih!); komentar saya tidak menanggapi dengan baik kebingungan saya. Jika monoton dan dihitung pada g 0 , tidak apa-apa untuk mengambil D N F ( g 0 )fg0DNF(g0) , menerapkan penyerapan dan operator , dan D N F ( g 0 ) yang dihasilkan mewakili f . Menggunakan ini "satu-shot" konstruksi, Teorema 5 baik-baik saja - untuk Teorema 6. Saya dipoles definisi D N F ' ( g 0 )RDNF(g0)fDNF(g0)

Apa yang saya tidak bisa melihat mengapa gerbang-by-pintu gerbang menerapkan penyerapan-dan- -seperti-you-go pembangunan D NRpada halaman 27-28 melakukan hal yang sama. Ini tampaknya perlu untuk analisis gerbang-demi-gerbang dalam Teorema 6 agar berhasil, kecuali kesalahan dari konstruksi ini dicatat. Maksud saya, tidak setiap fungsi bahkan dapat diwakili oleh DNF dengan istilah dengan hanya non-dinegasikan atau dinegasikan literal, tetapi untuk setiap nodeg, D N F (g)tampaknya selalu memiliki formulir ini. Bagaimana jika ada simpulgdi jaringan saya sehingga r e s (DNF(g0)gDNF(g)g tidak memiliki perwakilan seperti itu?res(g)

(Poin kecil (?) Lainnya: Saya tidak melihat apa yang lakukan dalam konstruksi gerbang-demi-gerbang saat Anda berjalan; pada 1.-4., Sepertinya α sudah merupakan konstruksi DNF standar, tetapi dengan penyerapan dan R diterapkan.)RαR


(jawaban dari anon) Saya setuju bahwa ketidakjelasan dalam definisi R mungkin menjadi masalah di bagian 6. R tidak didefinisikan secara eksplisit, dan kecuali tindakannya entah bagaimana tergantung pada seluruh DNF (dan bukan pada nilai-nilai DNF 'di gerbang secara induktif) , mungkin ada masalah. Bukti Deolalikar memiliki masalah yang sama - dua definisi berbeda bingung. Di sini, setidaknya kita tahu apa yang dimaksud dengan DNF ', dan jika ini adalah sumber masalah di bagian 6, bisa mudah dilacak. Saya tidak masuk ke bagian 6 namun, itu membutuhkan bukti pemahaman oleh penaksir oleh Berg dan Ulfberg yang dijelaskan dalam bagian 4, akhirnya terkait dengan konstruksi Razborov dari tahun 1985, yang tidak mudah.

Penjelasan bagaimana R bekerja:

Ketika R diterapkan dalam beberapa langkah, itu hanya membatalkan istilah yang, PADA LANGKAH YANG, akan berisi literal yang berlawanan (kita mungkin perlu melacak literal negatif). Sebagai contoh, mari kita evaluasi sebagai ( ( x y ) ( ¬ x y ) ) ( x ¬ y ) pertama, untuk menghitung DNF 'pada simpul AND pertama, kita mendapatkan x

(xy)(¬xy)(x¬y)
((xy)(¬xy))(x¬y)
sebelum menerapkan R, tetapi setelah menerapkan R kita kehilangan x pertamadari braket pertama, dan mendapatkan ( y ) ( x y ) ( y ) , (di mana y pertamamungkin memiliki NOT virtual x jika kita melacaknya). Kemudian terapkan AND kedua, untuk mendapatkan ( ( y ) (
(xy)((xy)(yy))
x) ( y ) ) ( ( x y ) ( x y ) (
(y)(xy)(y),
yx tetapi kemudian R menghapus seluruh braket pertama karena memiliki virtual TIDAK y hadir (dalam hal ini kami tidak tidak perlu melacak langkah-langkah sebelumnya, tapi mungkin kita perlu secara umum), meninggalkan ( ( x y ) ( x y ) ( x y )
((y)(xy)(y))((xy)(xy)(xy)),
atau secara sederhana ( x y )
((xy)(xy)(xy))
(xy)

6
Saya skeptis akan hal ini (tapi jangan gunakan Facebook untuk mengatakan apa pun di sana) - Fungsi Andreev (di koran) diberikan sebagai grafik bipartit dengan set vertex kiri dan kanan sama dengan GF (q), ditambah set tepi sewenang-wenang , dan gelar yang diikat. Pertanyaannya adalah apakah ada cara untuk memilih, untuk setiap simpul di sebelah kiri, salah satu tetangganya, sehingga fungsi yang diinduksi (dari kiri ke kanan) adalah polinomial derajat rendah. Komentar Luca berlaku setelah kami memiliki tetangga yang baik untuk setiap simpul kiri (saat itu hanya interpolasi polinomial), tetapi tidak jelas bagi saya bagaimana membuat pilihan yang baik.
Andrew Morgan

@AndrewMorgan Saya memperbarui jawaban CW.
Clement C.

@Karl Wimmer: tentang cuaca DNF ′ (g0) menghitung f, orang perlu menggunakan f itu monoton, saya pikir. Diasumsikan dalam Teorema 5 bahwa f adalah monoton.
idolvon

bingung! Apakah ini semua kutipan dari pos facebook? saat mengklik tautan facebook shachar lovett di atas, beberapa balasan di atas terlihat oleh saya tetapi yang lain tidak terlihat bagi saya. misalnya Karl Wimmer. apakah ini karena beberapa pemutaran tanggapan teman di facebook? Jika demikian, ini mengecewakan & itu bukan tempat yang sangat baik untuk diskusi publik. mungkin seseorang dapat membuat tangkapan layar? :( atau apakah Anda mengutip hal-hal dari luar pos facebook? harap berhati-hati / lengkap dengan kutipan / url
vzn

oh! penelitian lebih lanjut Anda juga mengutip balasan dari posting blog baez yang berisi balasan Wimmers
vzn

Kebenaran bukti yang diklaim sedang dibahas di blog Luca Trevisan: https://lucatrevisan.wordpress.com/2017/08/15/on-norbert-blums-claimed-proof-that-p-does-not-equal- np /

Secara khusus "anon" memposting komentar yang relevan berikut:

"Tardos mengamati bahwa argumen Razborov dan Alon-Boppana terbawa ke fungsi yang dikomputasi oleh sirkuit non-monoton ukuran polinom (fungsi adalah varian kecil pada perkiraan fungsi grafik theta Lovasz). Jika argumen Berg dan Ulfberg juga berlaku untuk fungsi Tardos (yang kemungkinan secara intuitif, karena bukti mereka tampaknya didasarkan pada bukti Razborov) maka jelas bahwa klaim Blum saat ini tidak dapat benar. Sayangnya, penulis tidak membahas hal ini. "

Pada pertanyaan langsung dari "Mikhail", Alexander Razborov mengonfirmasi hal ini (lihat posting Mikhail): alasan yang diberikan oleh Berg dan Ulfberg sangat cocok untuk fungsi Tardos, dan karena memang demikian, bukti Blum tentu salah karena bertentangan dengan nukleus dari teorema keenam di makalahnya.- A. Razborov

Menurut pendapat saya ini pasti menyelesaikan pertanyaan apakah kertas itu benar atau tidak (itu TIDAK benar!). Penting juga untuk dicatat bahwa tampaknya sulit untuk memperbaiki buktinya karena metode buktinya sendiri tampaknya cacat.

Pembaruan (2017/08/30) Norbert Blum memposting komentar berikut di halaman arXiv-nya:

Buktinya salah. Saya akan menguraikan dengan tepat apa kesalahannya. Untuk melakukan ini, saya perlu waktu. Saya akan meletakkan penjelasan di beranda saya


3
Saya memposting ini sebagai jawaban karena saya belum memiliki hak untuk mengirim komentar.
Gustav Nordh

11
Ya, ini pemahaman saya (tapi saya mungkin salah). Fungsi Tardos adalah fungsi monoton yaitu 1 pada k-klik dan 0 pada grafik partpart lengkap (k-1). Sejauh yang saya tahu, Berg dan Ulfberg HANYA menggunakan properti ini dalam bukti pendekatan CNF-DNF mereka untuk CLIQUE, yang karenanya membuktikan bahwa fungsi Tardos memiliki kompleksitas monoton eksponensial. Teorema 6 Blum mengatakan bahwa kompleksitas monoton batas bawah oleh pendekatan CNF-DNF untuk fungsi monoton, memberikan batas bawah NON-monoton yang sama. Oleh karena itu, fungsi Tardos memiliki kompleksitas eksponensial menurut Teorema 6 (yang salah).
Gustav Nordh

5
Dalam hal ini, sepertinya menyelesaikan masalah ini harus menjadi fokus utama saat ini ... Saya tidak percaya saya cukup kompeten atau berpengetahuan untuk melakukannya, tetapi (jari juling, yang tidak membantu pengetikan) yang lain.
Clement C.

3
Di mana fungsi Tardos ini didefinisikan, dapatkah seseorang memberikan referensi pada makalahnya? Jelas, fungsi non-monoton yang memisahkan T0 dan T1 ada yang ada di P (mudah untuk membuat orang mengatakan memeriksa jika kita memiliki grafik lengkap dengan k node), tetapi apakah fungsi Tardo monoton? Jika monoton, dan memisahkan T0 dan T1, itu akan membatalkan buktinya. Tetapi jika itu bukan monoton, maka bukti mungkin masih benar.
idolvon

4
Fungsi Tardos didefinisikan dalam makalahnya yang sangat singkat yang terletak di sini: cs.cornell.edu/~eva/…. Selain itu sifat-sifat fungsi Tardo dibahas secara rinci dalam [S. Jukna, Kompleksitas Fungsi Boolean hal. 272]
Gustav Nordh

Gustav Nordh dikomentari oleh Theorem 5 (halaman 29). Secara khusus, fungsi

(xy)(¬xy)(x¬y)

1xy1βxyβg0 .

DNFβ(g0)β

xy(xy)

DNFβ(g0)fDNFβ(g0)xfx=1f(x,y)=1R


2
Tampaknya DNF 'untuk rumus ini adalah (x DAN y) - bentuk DNF lengkap, batalkan istilah-istilah sepele, dan terapkan penyerapan
idolvon

2
DNF

2
Definisi pada halaman 27-28 melibatkan penggunaan operator R, yang tidak didefinisikan kecuali untuk frasa yang tidak jelas "berasal dari monomial sepele". Jika kita menganggap itu berarti "akan dibatalkan jika literal dipertahankan hingga tahap ini", maka definisinya sama. Bagaimanapun Anda membutuhkan BEBERAPA penafsiran untuk R. Karena R sangat penting dalam bab 6, penafsiran yang tepat adalah penting, dan sebenarnya ada satu yang induktif.
idolvon

2
(xy)(¬xy)(x¬y)
((xy)(¬xy))(x¬y)
(xy)((xy)(yy))
x
(y)(xy)(y),

2
yx
((y)(xy)(y))((xy)(xy)(xy)),
tetapi kemudian R menghapus seluruh braket pertama karena memiliki TIDAK virtual y hadir (dalam hal ini kita tidak perlu melacak langkah-langkah sebelumnya, tapi mungkin kita perlu secara umum), meninggalkan
((xy)(xy)(xy))
(xy)

Bisakah seseorang menggunakan daftar decoding dari kode Reed-Solomon untuk menunjukkan fungsi POLY Andreev dalam P, mirip dengan cara Sivakumar dalam keanggotaannya yang sebanding dengan kertas ? Atau apakah fungsi POLY dikenal sebagai NP-complete?


10
Lance, saya tidak menjawab pertanyaan Anda. Pada Juni 1986, "Masalah Terbuka Bulan Ini" David Johnson bertanya apakah masalah Andreev adalah NP-complete. Lihat kolom Kelengkapan NP David dalam Journal of Algorithms 7: 2, hlm. 289-305. Tidak yakin apakah ada resolusi.
Ravi Boppana

1
Artikel Johnson tahun 1986 mendahului teknik rekonstruksi polinomial dan daftar-decoding dari tahun 90-an.
Lance Fortnow

1
Inilah ide saya menggunakan notasi dalam Bagian 7 dari makalah Norbert Blum. Sebuah polinomial p yang merupakan solusi untuk masalah POLY dapat dilihat sebagai codeword Reed-Solomon. Pilih fungsi f dengan secara acak memilih tepi dari setiap simpul dalam A. Bahwa f harus setuju dengan p secara signifikan lebih dari fraksi 1 / q dari input. Kemudian kita bisa menggunakan daftar decoding pada f untuk membuat daftar panjang kemungkinan polinomial untuk p dan kita dapat memeriksa masing-masing.
Lance Fortnow

1
qddhaldqcatatanq1q

4
@Matt Dengan asumsi saya membaca di atas dengan benar, fungsi itu adalah satu-satunya Blum yang mengklaim telah membuktikan kompleksitas sirkuit superpolinomial. Tetapi jika itu dalam P, itu harus memiliki kompleksitas rangkaian polinomial, bertentangan dengan bukti P vs NP.
Clement C.

Dia telah memperbarui arXivnya untuk mengatakan bahwa buktinya salah:

Buktinya salah. Saya akan menguraikan dengan tepat apa kesalahannya. Untuk melakukan ini, saya perlu waktu. Saya akan meletakkan penjelasan di beranda saya.


Blog Lipton dan Regan di sini memiliki diskusi tingkat tinggi yang bagus dengan komentar yang menarik tentang struktur buktinya.

Mereka juga menunjukkan silsilah Blum sebagai telah membuktikan batas bawah pada kompleksitas sirkuit Boolean yang berdiri selama lebih dari 30 tahun. Ini tentu saja hanya "informasi sampingan" karena para ahli sudah serius mempelajari buktinya.


Juga di sini: https://www.quora.com/Whats-the-status-of-Norbert-Blums-claim-that-operatorname-P-neq-operatorname-NP

Mengutip Alon Amit:

(Pendapat pribadi, 14 Agustus, di kemudian hari): Saya tidak berpikir makalah ini akan tahan terhadap pengawasan. Teorema mendalam yang telah diteliti secara masif seperti halnya P ≠ NP, kemungkinan besar, akan diselesaikan dengan teknik-teknik baru yang mendalam dan berjangkauan jauh. Bukan tidak mungkin bahwa itu akan diselesaikan dengan sedikit peningkatan metode yang diketahui, yang sudah ada, tapi itu hanya sangat, sangat, sangat tidak mungkin.


11
Itu bukan argumen (pendapat yang valid, dan yang saya akui saya bagikan, tapi bukan argumen yang valid, yang menurut saya harus kita miliki di sini). Hal-hal semacam ini telah terjadi sebelumnya .
Clement C.

8
Ya, saya tidak berdebat apa-apa. Cukup jawab pertanyaan "di mana makalah ini dibahas", dan kemudian rangkum diskusi tersebut hingga poin ini.
Jack

Tidak mungkin benar karena alasan berikut: metode perkiraan cukup umum sehingga setiap batas bawah dapat dibuktikan menggunakannya. Ini akibat dari Razborov. Mengapa ini menjadi masalah? Karena itu berarti bahwa metode pendekatan tidak akan menjadi kemajuan utama, itu dapat mengekspresikan apa pun, daging akan berada di tempat lain. Tampaknya tidak ada daging seperti itu di koran, yang menunjukkan bahwa kemungkinan besar penulis membuat kesalahan halus, jenis kesalahan yang tersembunyi dari mata tetapi pada dasarnya adalah asumsi yang menyiratkan jawabannya. Bagi mereka yang bukan ahli teori kompleksitas: ini adalah tes penciuman yang sangat baik, ini mungkin benar seperti klaim seseorang untuk membuat roket di ruang bawah tanahnya untuk melakukan perjalanan ke bulan dalam seminggu.

Jadi di mana kesalahan kecil itu? Di blog Trevisan ada komentar oleh Lovett yang menyarankan asumsi tersembunyi apa yang ada dalam teorema 6.


poin bagus / relevan; fyi razborovs "no go" thm is "pada metode aproksimasi" (1989) people.cs.uchicago.edu/~razborov/files/approx.pdf tetapi merasa bukti ini tidak dianalisis dengan sangat baik. kita harus hati-hati memahami jika syarat-syarat yang dinyatakan di luar sekadar kata-kata "metode pendekatan" yang telah melalui revisi / pengembangan / penyempurnaan dll sejak awal oleh razborov. kondisi yang tepat ini tampaknya tidak banyak dianalisis oleh para peneliti kemudian. penghalang utama lainnya adalah oleh razborov / rudich natural proofs en.wikipedia.org/wiki/Natural_proof
vzn

downvoted karena isi dari jawaban ini sudah dialamatkan dalam jawaban sebelumnya.
memverifikasi

NP-cP .

CffCm gerbang .

Fungsi boolean hanya memiliki satu tabel kebenaran tetapi bukan ekspresi aljabar tunggal, tidak ada masalah yang hanya memiliki satu fungsi boolean yang menyelesaikannya.

Beberapa (mungkin semua) fungsi isomorfik (masalah tidak).

NP=Pmmfff

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.